寝ようと思ったらネットの知り合いからこの問題を解けって言われた
ハム大理系数学です。
— りゅうじ (@r____y00) 2024年2月25日
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これの2番。
軽く解いてみようと思ったら難しすぎてびっくりした。慣れてないせいなのか1時間かかった。間違いなく今日取り組んだ東大京大東工大全17問よりも難しいｗ
(1)
x^2が虚数 or x^2が負の実数のときにxが虚数になる。当たり前だが重解だとダメである。
よって逆にx^2が0以上の実数解を持つという条件の余事象を考えて、最後に重解を考えてやろう。解の配置問題だ。
定数項が正なのでf(0)＞0であるから、条件は軸≧0とD≧0だ。つまりb≦0かつb^2－4c^2≧0で、b≦0だとb－2cが常に負になるため、b＋2c≦0という条件に書き換えられる。すなわちb≦-2c
これの逆なので、b＞0またはb＞-2c。ただし重解持っちゃダメなのでb^2－4c^2≠0つまりb≠2cかつb≠-2cであり、要はここ。
赤がx^2が虚数の場合の領域で、青がx^2が負の数を持つ場合の領域。
境界は含まない。
この見分けがつけられない人は (例：ぼく) 、このあとの問題で詰むことになる。
(2)
最難関。
2重根号を外すためには、√(x＋2√y)の形にして、足してx、掛けてyの形にするのが大原則。b^2－4c^2を因数分解するとb＋2cとb－2cになる。あとは虚数であることに気を付け、√(b^2－4c^2)＝√(4c^2－b^2)iになっていることに気をつければ2重根号を外すことができる。
なお、(1)で出したように√(2c－b)が実数かどうかで話が変わってくるため、
このように解答するのが丁寧だろうか。
なお、2重根号の外し方を知らなくても、こういう因数分解で解くこともできるが、試験場でこれを思いついた人はいるのだろうか。
あくまで別解として。
(3)
xが(実部)＋(虚部)の形になっているか、純虚数であるかの2パターンがあることに気付いたかと思う。僕は30分くらい気付かなくて、「え？ 常に同一円周上にあるだろ？」と思っていたｗ
(実部)＋(虚部)の形の場合に4点は長方形を作るため同一円周上にあり、純虚数の場合は虚軸上に並ぶため一直線となる。
というわけで同一円周上にある条件は(1)の赤い部分である。
(4)
同一直線上にあるため、(1)の青い部分についての話となる。
解を書き出すと(±√(b－2c)±√(b＋2c)/2)iとなり、それらがこのように並んでいるのだ
あとは適当に解いてやると、c＝3b/10と出てくる。
感想：東大京大ばっかりやってるとこの手の問題が解けなくなってきてしまうなぁ
