僕は1A2Bに関しては基本無敵でしたが、3Cは苦手だったのであんまり深いことは言えません…。あと複素平面やってない勢なのでスルーで
@極限
★＋∞に発散というのは「どれだけ大きな数をとっても、いずれその数より大きくなる」のイメージ
★一定値に収束というのは「その値との差をどれだけ小さく取っても、いずれそれより差が縮まる」というイメージ。大学で習うがイメージくらいは掴んでおくと見通しが良い
★関数の連続性が怪しいときは右極限と左極限を考えて一致をいう
★等比数列の収束条件は-1＜公比≦1。1は収束するが-1は振動する
★無限等比級数の収束条件は-1＜公比＜1。等比数列自体と違うことに注意。収束値はa/(1-r) 反射的に浮かぶこと推奨
★無限級数が収束⇒a_nが0に収束。逆は成り立たない
★無限級数を偶奇などで場合分けしたなら、すべてにおいて同じ極限値に収束することを言わなければならない
★不定形の解消法
・整式だと次数最大だけ見る
・√含みは逆有理化する
・指数関数は最も大きなもので割る
・1^∞はeの定義式に持ち込む
★収束速度はlog＜整式＜指数関数
★logx/x→0の証明は√x/xと挟む、nr^n→0の証明はr=1/(1+h)として二項定理でバラして挟む
★具体的に求まらなさそうな極限は大抵はさみうちの原理
★極限を求める問題では関数の具体的な姿を求める必要はなく、はさみうち利用で楽ができることも多い
★例えばx→∞だと勝手にx>0とかしてよいし、x→0だと勝手に|x|<1としてよい。この辺のアバウトさを使いこなすのが肝要
★分数関数では収束速度のorderが揃ってないと0か∞になるはずなので同じorderのものを持ってくる。sin、tanは1次式、cosは2次式と同じ
★ロピタル覚えるくらいなら漸近展開覚えろ
★数列の極限で、|r|<1なるrを用いて|a(n+1)－α|＜r|a(n)－α|の不等式を示し、はさみうちでαへの収束を示す問題は大頻出
@微分
★対数微分法は指数部分にxが乗っている場合のほか、√(複雑な式) の時に√をおろしてくる程度の目的でも使える
★2階微分の正負でグラフの凸性が分かる。<0なら上に凸、>0なら下に凸
★関数が微分可能⇒連続関数 逆は成立しない
★初等関数ならどれだけ複雑でも気合で微分可能だが、だからこそ式を簡単にしてから処理したい
★単調であることをいうにはf'(x)の符号がずっと同じことをいう
★f''(x)の符号がずっと同じ⇒f'(x)が単調で0を通過⇒f(x)はただ一つのmax,minをもつ という流れがよくある
★極大極小はf''(a)の符号でもいえる。>0なら極小、<0なら極大
★2曲線が接する⇔f(a)＝g(a)⋀f'(a)＝g'(a)
★逆関数の微分はx=f(y)を微分して1=f'(y)・y'つまりy'＝1/f'(y)
★方程式の解の個数は基本的に定数分離。ただし1次だけ残して1A2Bで完結することもある
@積分
★∫f'(x)/f(x)dx＝log|f(x)|＋C
★有理関数の積分の仕方
1.割り算して(分子の次数)＜(分母の次数)にする
2.必要ならば部分分数分解
3. (1次)/(2次)部分を∫f'(x)/f(x)dx、(定数)/(2次)部分をtan置換
★無理関数の積分の仕方
√(ax+b)→tで置換して有理関数に
√(a^2－x^2)→x＝asinxと置換して√を外すか、円の一部とみる
★三角関数の積分の仕方
2乗以上は半角公式で1乗にする
t＝sinx or cosx or tanxで置換して脇のcosx, sinx , 1/(cosx)^2を消し去る
横に整式やe^xがくっついていたら部分積分
など
★logは横にxをつけて部分積分
★奇関数f(-x)＝-f(x)は-a～aまで積分したら0になるので気付くべし 偶関数は気付かなくても割とどうでもいい
★積分漸化式は部分積分
★パラメタ表示の面積は∫ydx＝∫y・dx/dt・dtでやるが、図形の概形をまずは描いてからでないとバグる
★回転体の断面積は((最も遠い点)^2－(最も近い点)^2)π
★積分を使った不等式評価は、m≦g(x)≦Mのときm∫f(x)dx≦∫f(x)g(x)dx≦M∫f(x)dxで余計なものを外すことが多い
★Σf(k)が出てくる不等式は、短冊並べて面積評価
僕は使いこなせなかった
・極座標
@2次曲線
★楕円は拡大縮小して円にできる
★楕円上の点は(acosθ、bsinθ)とおける
正直マジで苦手だったのであんまりポイントとなる部分を知らない
