自分用まとめ。ベクトルはB扱いで。
@三大丸暗記公式
以下の3つは導出よりも先に丸暗記推奨。導出する方が覚えるより面倒。
１．点と直線の距離
２．加法定理
３．Σk^2
導出が面倒な分、たまに大学入試で出されるので、地力がついてきたらチャレンジ。
では分野別に。
＠いろいろな式
★絶対値を見たら 中身＝0 となる場合を考えて場合分け
★文字が分母に入るような変形を行うとき、分母≠0を確認
★文字置換したら文字の範囲はすぐに書く。置換後の関数を書いたあととかにすると書き忘れるので。
★√f(x)＝g(x)を2乗したとき (しなくてもだが) 、g(x)≧0という条件が生えてくる
★不等式はマイナスを掛けると逆になる
★対称式は基本対称式で表せる。だいたい解と係数の関係と存在条件を使う
★同次式はt＝y/xで置換。当然x≠0を確認
★交代式はx－yで括れる。文字が多いと(a-b)(b-c)(c-a)で括るなど。
★相反方程式は偶数次はt＝x+1/xで置換する、奇数次は(x-1)で括って偶数次に帰着
★整式がα＋βiを解にもつならば、α－βiも解にもつ
★高次式の展開は二項定理で係数を出す
★高次式に面倒な数を代入するとき、代入する数が低次方程式の解であるかをチェックし、整式の割り算で次数下げ
★f(x)＋1/f(x)の形は相加相乗を使うか、罠かのどちらか。f(x)>0とf(x)＝1/f(x)を必ずチェック
★有理数は既約分数p/qとおける
★1次不定方程式の解き方は丸暗記
優先度低めだがピンポイントで刺さる
・因数定理の証明
＠整数問題
★有限個に絞って全部調べるのが基本
★素数が出てきたら因数分解して片方1、片方pから条件を絞る
★整数の2乗はmod3,4で0 or 1、mod5で0 or ±1
★互いに素は意外と強い。最大公約数で括って出してくること多し
★余りをとった数列は必ず循環する
たまに役立つ
・n!＋1は2～nのどれでも割り切れない
便利なように見えて、これを題材にすると誰も解けないため滅多に出番がないやつ
・整数の3乗はmod7で0 or ±1
＠2次関数
★2次関数は2次の係数と頂点の座標に注目
★max , min問題はmaxとminを分けて考える。一気にやるとこんがらがる
★解の配置は端点→軸、判別式の順にチェック
2次関数というテーマを破壊して別分野の力を借りるのもあり
・文字入り2次関数は定数分離で考えると楽になるケースもある
＠三角関数
★1＋tan^2＝1/cos^2
★sin＝costan
★0≦θ<2πの条件有無は引っかかりやすい
★-1≦sinθ,cosθ≦1 さらに±1は対応するθが1個、それ以外は2個。置換時に忘れやすい
★sin,cosの対称式はsin+cosとsincosで表す。(sin+cos)^2＝1＋2sincos
★混合していたら角か種類 (sin,cos,tan) を揃える
★倍角、半角、3倍角くらいは覚えたほうが早い。和積と積和は導出
★合成も覚えたほうがいい
★直線のなす角はtanの加法定理か法線ベクトルについて内積計算で求めるが、圧倒的に前者を使う (後者は3次元)
★図形量を変数にする問題で、長さを変数にとると√が出てきそうなときは角を変数にとって三角関数で処理したほうが楽
★tan(θ/2)＝tとおくと三角関数を用いた式が全て有理式になる。最終兵器
とにかく関係式が多すぎるので、式をいじくる経験値がものをいう分野
＠指数対数
★底の条件a>0、a≠1、真数条件x>0
★底と1との大小で場合分け
★logxとlog(ax)は平行
★指数部分に変なのが乗ってたら対数取っておろしてくる
★a^(logx)＝x (logの底はa)
★桁数関連は10^(n-1)≦x＜10^nで常用対数をとる。最高位の数も関わってきたらa・10^(n-1)≦x＜(a+1)・10^(n-1)
★桁数関連でよく使うのはlog5＝1－log2 (常用対数)
案外底が浅い分野なのでマスターまでは早いが、理系だと自然対数以外の影が薄くなるので底と1との大小で足元を掬われることも……。
＠場合の数・確率
★重複組み合わせの問題に帰着できるシチュエーションは意外と多いが気付きづらい
★同じものを含む組み合わせ問題は区別をなくして並べてから重複度で割る
★nCr絡みのmax,minはP(n+1)/P(n)と1の大小を考える。これは階乗を消すため
★ある程度絞ったあと全部数え上げる方針に移行するのも有効。泥臭さが重要な分野
★コインをn回投げたら分母に2^n敷いて場合の数。惑わされないように。
★隠れた対称性がカギになることが非常に多い
★確率漸化式は全部足した確率が固定であることが多く、そこから1文字消せる
★確率が1超えたら死刑
意外と使わない
・対称性の一種だが、ゲーム系は相手にターン回ると勝率1－P(n)
＠不等式の証明
★コーシー・シュワルツは飛び道具
★凸不等式は割と本解答に入ることあり
★a≦bかつc≦dのときa+c≦b+dで、a-d≦b-c
★分母が重いときは逆数をとって考えると分かりやすいことも
★大雑把にバッサリ項を切り落として示すこともあり
個人的にメチャクチャ苦手で嫌いな分野
＠軌跡領域
★軌跡はxとyの関係式を出す→十分性の確認 以外やることない
★f(x)g(x)<0を図示すると大体は挟まれたとこが塗られる
★パラメータ表示の軌跡は、点をプロット→予想→式変形でつじつま合わせで天下り的に出す最終手段もあり
★通過領域は2次式や陰関数は基本逆像法、3次以上の陽関数は順像法が基本。もちろん例外はいくらでもある
★領域の図示において複数の曲線・直線が出た場合は必ず交点をチェック。曲線の接線が出やすいので特に気を付ける。2交点をもった図を描くと当然減点
あると便利だけどなくても実は特に困らない
・包絡線
＠三角形の面積
★割とだいたい1/2absinθ
★垂直が見えていたら底辺×高さ÷2
★座標平面上にあったら1/2|ad－bc|
★空間の三角形の面積を求めるには1/2√|a|^2|b|^2－(a・b)^2 一択
★内接円絡みは1/2r(a+b+c)
いらない
・ヘロン
・abc/4R
＠微積
★微分したら接線の傾きが出る
★接線を出すときは接点をおいて処理。ただし4次関数の自己共通接線は接線をおく
★f'(x)＝0なるxが面倒な数のとき、f(x)をf'(x)で割り算して次数下げしてから代入
★Max,minは端点or極値しか見なくていい
★何故か増減表は書かないと減点される模試が多い
★積分方程式は微分して∫を消す
1/6公式とその派生は実は使ったことがない (記述で使っていいか不安なので毎回計算してた)
＠3次関数絡み
★変曲点に対し点対称
★極値をもつ3次関数は合同な8個の長方形の頂点を通る (ググって)
★極値の和は解と係数の関係、差は定積分の利用が楽
★3次関数に接線が引ける本数は変曲点での接線を境界にエリア分けされる。
＠円絡み
★4点が同一円周上にある⇔円周角にあたる角が等しい
★角度が一定となるように動く⇔円弧を描く
★対角の和が180度の四角形は円に内接する
★円上の点と中心を結んだ直線は接線に直交する
★円上の点は(cosθ、sinθ)とおける
★円の中心と円周上の点を結ぶ補助線を引くと、長さrの線分が沢山出来て合同な三角形が生まれやすい
★円と直線が接する⇔点と直線の距離＝円の半径
★2つの円の交点の個数は、中心間の距離と半径の和＆差を比較
★交点を通る図形→束の利用
★三角形の内接円は円の中心から接点と頂点に線を引いて三角形を6個作る
★中心の座標は接点＋法線単位ベクトル×半径で出せる
★ある直線から最も近い＆遠い円周上の点は、中心を通る垂線との交点
裏技的な解法がたまに見えるやつ
・ある点から等距離⇔その点を中心とした円周上にある
円は初等幾何の起点なのでえげつないほど実力差が出る
＠ベクトル
★平行条件 AB↑//CD↑⇔AB↑＝kCD↑
★b↑－a↑をm：nに内分⇔ma↑/(m+n)＋nb↑/(m+n)
★直線はa↑＋tb↑、平面上の点はsa↑＋tb↑＋uc↑ (s+t+u=1) で表せる
★だいたいのものは2乗して絶対値と内積に分けて計算
あんまり使うイメージが無い
・円のベクトル方程式
個人的に苦手なので必要なとき以外あまり使わない
＠正四面体あれこれ
★高さ√6a/3
★体積√2a^3/12
★向かい合う辺同士は垂直
★2つの面のなす角θについてcosθ＝1/3
超マニアック
・1辺1の正四面体の座標はこうおける
＠空間図形絡み
★イメージ難しいので大体ベクトルで頑張る
★点と直線の距離は空間だと公式が無い
★三角形の面積は1/2√|a|^2|b|^2－(a・b)^2 一択
★直線L上の点Aに対し、AB⊥Lだとしても、点Bと直線ABを含む平面との距離が線分ABの長さとは限らない
★ある平面上の図形の面積がSのとき、この平面とのなす角がθである平面に正射影したときの面積はScosθ
★正八面体は真上から見たら六芒星
最近のトレンド
・ねじれの位置⇔平行でない⋀交わらない
＠数列
★Σの基本は階差形を作ってあいだの項を打ち消すこと。等差か等比か階差形をつくろう
★等差数列のΣは(最初＋最後)×項数÷2
★等比数列のΣはa(1-r^(n-1))/(1-r)。理系は極限のa/(1-r)を瞬時に出したい。
★a_(n+1)＝a_n＋f(n)はf(n)の形に似ている何かを引いて等比数列に持ち込む
★積の形の漸化式はlogをとってバラす
★フィボナッチは解いたほうが面倒なので漸化式のまま扱う
★数学的帰納法は結局漸化式を立ててる。n=kでn=k+1を表すためにどうするか。もちろん3項間漸化式になる状況があり、その場合n=kとn=k+1が仮定され、n=k+2を表す
適当に思いついたことを書き殴ったので粒度とかにムラがありますし、後でこっそり追記されてるかもね
