正四面体の対辺は垂直である。
雑に描いた図からはとても想像できないが、事実である。
恐らく空間ベクトルの問題演習で1度は示したことがあるんじゃないだろうか？
内積を使えば非常に簡単に示せる。
実はこの特性を用いた座標の置き方がある。
それがこちら！！
1辺の長さが1の正四面体をこのように座標を設定して置くことができる。
疑うのならすべての辺の長さを計算してみるといい。1になるはずだ。
この視点が活かされるのはどういう場面だろうか？
例えば次のような問題がめちゃくちゃ簡単に解けるようになる。
2014年度 首都大学東京 後期
一辺が√2になったので、√2倍に相似拡大してみよう。また、頂点の名前も問題文に合うように書き直す。Oが原点じゃないのがキモいがまあ仕方ない。
それでは問題を解いていこう。
(1)
図より自明。1。
(2)
Pの座標が(t,0,0)であることは明らかで、MN (x軸) とPQが直交するのでQのx座標もtであることは明らかである。
すなわちOC上の点Qの座標は(t、-t/√2、-(1-t)/√2)であり、その距離は√(t^2－t＋1/2)となる。 (y,z座標はt：1-tに内分と考えたら一瞬で出る)
(3)
π∫(t^2－t＋1/2)dtを0～1まで積分すればよい。π/3。
以上。かかった時間3分。
どちらかというと、対辺が垂直であるという性質というより、辺の中点M、Nがテーマとなった時に威力を発揮する方法だったりする。
なお、この方法はめちゃくちゃテクニカルなくせに使える機会がほとんどないため、このように一発ネタとして紹介してみんなを驚かせるくらいの用途にしか使えない。
