しばらく放置していましたが、ようやく重い腰を上げて再開です。
第1問 難易度：Ｃ*****
かかった時間：49分42秒
新たな記号がいきなり定義されているのでわかりづらいですが、いわゆるn進数みたいなものを階乗で定義している、いわば階乗進数というものがテーマの問題です。
(1)
2進数で喩えると 111111…11 ＝ 100000…00 － 1 であることを示せと言われているようなものです。そう聞くと自明だろって気がしますが、(1)と(2)はこの階乗進数というものを本当に位取り記数法の一種として扱ってよいのかを判断するための設問ですから、ちゃんと証明してやらないといけません。
これは左辺と右辺をバラしてやって
この等式が成り立つことと同値です。
帰納法で示してもいいのですが、階差表現に気付けると非常に楽です。すなわち
こういうこと。
これの総和を取れば(m+1)!－1になることは容易に納得できるでしょう。
(2)
一意性と完全性を示せという問題。階乗進数っていう話が見えてる人にとっては、(1)で繰り上がりを示した時点でもはや当たり前のことのように思えますが、そうであるからこそ逆にどのように示せばいいのかが難しいです。僕は今回これを考えるのに非常に苦労しました。
やっぱり帰納法が簡単なのかなと思い、桁数に関する帰納法を試みてみる。
帰納法の仮定をどう使うかを考えた時にすぐ思いつくのは…
こういう風に分離して、「1～m!－1までを一意で表せると仮定したら、m!～(m+1)!－1が一意で表せる」を帰納法で示すというのが一番簡単な気がします。ただし最高位の数字は0でないものとするという制約があるので、ここではa_(m-1)＝0を許容するような便宜上の表記であるとかそういう注釈を入れなければいけない。つまり10進法で言うと、0000120とかそういう表現をここでは許容しますがそれは120と同じなので一意性を崩しませんよみたいなことを書かなければいけないのですが、僕の言語化能力が低く、どう書けばいいのかがよくわかりませんｗ
あと分離したほうが全部0ってのもあるのでね。これの注釈を書くのがめんどくさすぎます。
まあそれは置いといて、これならa_m×m!＋(0～m!－1)となりますから、a_mを1≦a_m≦mで動かすと網羅できることになります。
……なんかこれを曖昧さを排除して記述することが僕の日本語力では無理そうなので、渋々別の方法で行きたいと思います。
一意性を示すためには、要は2通りで表示できると仮定したら矛盾するということを言えばよいのです。この発想はこの手の問題ではよくやるので馴染みが深い人も多いでしょう。
こういう風に2通りで表示できるとして…
これの各項の係数がすべて0でないと矛盾することを言えばよろしいです。
なお、両方桁数が同じということすら自明でないため、桁数が違ったら矛盾するということも言わねばなりません。不等式評価すればいける。
これは、初めて0でなくなるところを(a_k－b_k)・k!として、これはk!の倍数になるのだが、(1)よりk-1桁のフルビットでもk!－1なので届かず矛盾ということで示せます。フルビットが最大値なのはさすがに自明でいいと思います。
これで一意性は示せたので、続いて完全性 (全部網羅されていること) を示しましょう。色々やり方はありますが、せっかく(1)で繰り上がりを示したのですから、整数kが表示できるとして、その表示を下の位から見ていって初めてa_i≠iになるところを考えると、iを＋1してそれより下をすべて0にしたものはk＋1となるということで帰納法で示すのが綺麗か？ と思ったので僕はそうしました。
示すべきことがかなり自明寄りなので、自分の力量と相談してきちんと書けるような方向性で検討しないと物凄く失点するタイプの問題だと思います。
(3)
最後は具体的な表示を求めてきますが、要求されているのは割り算です。n!は言うまでもなく[1,0,0,0,…,0]nで表示されるのですが、これを5で割るとどうなりますかということを問うている。
割りましょう。
さて、商を立てたいところですが、どんな数字が立つのかがこのままだとなんかよくわかりません。
筆算の基本を思い返してみると、そういえば繰り下がりのある引き算では、23－7とかは3から7が引けないので10の位から1を借りてきて、10＋(13－7)＝10＋6＝16とするというテクニックがありました。
同じことをしてみると解決しそうです。すなわち、(n-1)!の位に商が立ちそうなのだがよくわからないため、n!の位から借りてくる。
当然、n!というのはn×(n-1)!なため、借りてきた結果はこうなる。
こ… これならできる！！
さて商は立つとはいえ、当たり前ですが各位の数字は整数しか許されないためnを5で割った余りによって場合分けが生じます。
まず最も簡単な、nが5の倍数の場合。
なんだこれｗ まあ、今はとりあえず計算するための殴り書きみたいなもんなので表記が数学的に非常に怪しいことには目をつぶりましょう。
nが5で割ると1余る数の場合。
商を立てて繰り下がるたびに、また1個下の位に数字を貸してやって商を立てていく。これを繰り返せばすべて解決しそうです。どんどん行きましょう。
nが5で割ると2余る数の場合。
どうやら単純に並ぶわけではないようだ。
しかしやるべきことは単純そうです。このままあと2つ割り算すれば終わりですね。
nが5で割ると3余る数の場合。
はいストップ！ みんな注目！
余り見てください。今までのように「とりあえず(n－3)/5に係数かけたやつが商なんだろ」ってノリでやったら余りが6と出てきました。5で割っているんだから6余るっていうのは誤りです。ならば商はさらに＋1されなければなりません。すなわち…
こうじゃないといけないってわけなんですよね。これに気付かないと商が[(n-3)/5, 3(n-3)/5, 6(n-3)/5, 6(n-3)/5, 0, …, 0]になって間違えます。
それに気をつけつつ、最後はnが5で割って4余る数の場合。
よし。答えは出揃った。終わり！
さて、答案を書きましょう……。
……
…………？
え、この意味不明な筆算書くの？
これはこれで面白いかとは思いますが、答案に書くのならもうちょっとまともな文章にしたいところです。
まともな文章にするために、割り算の商と余りの関係を式にしちゃいましょう。例えばn≡4 (mod5) なら
n!/5＝(n-4)/5×(n-1)!＋4×(n-1)!/5
4×(n-1)!/5＝(4n-6)/5×(n-2)!＋2×(n-2)!/5
……
4(n-4)×(n-4)!/5＝4(n-4)/5×(n-4)!
であるから、n!/5＝(n-4)/5×(n-1)!＋(4n-6)/5×(n-2)!＋…＋4(n-4)/5×(n-4)!となるので表示は…
という風に書くということです。
あとは(2)より一意性が示せたんだから、1個見つけたらそれが答えですみたいなことを言ってやれば終わり。
略解なら簡単に書けるのにきちんと答案にするのは難しいなーって感じました。というかこういうのって実際どこまで記述を省略してもいいの？
あまりに長すぎて書いてて嫌になってきました。これは記事用なので丁寧に書きましたが、殴り書き答案ですら書くのに30分くらいかかってます。
やむを得ず記述を省略しているところがありますがこれで減点されたらもう知らんって感じです。(3)は各項が整数かつ0≦a_k≦kを満たすことはさすがに断っておかないといけないと感じたためいちいち書いています。
いつもこれくらい丁寧に書くんですけど、受験生の時は模試のたびに毎回論証不足扱いで合計10点くらい引かれてたんだよな…。東大模試で120点満点取る人って解ける解けない以前にどういう答案書いてるんだろう。
なお、(2)で階乗進数の加法を自明として使ってしまっているのでここで減点される可能性があります。ただもう書き直したり書き方の方針を変えるだけの気力がなく断念。つーか結局これどこまでを自明にしていいんだ？
第2問 難易度：Ｃ******
かかった時間：46分8秒
図形を転がす問題は中学受験では飽きるほどやりましたが、大学受験で扱うのはなかなか珍しい？ いや、サイクロイドとかでやるか…。
(1)
円を1周させると、円が転がる距離は図の青線で示した部分。つまり4l－8です。
図形を転がすと、転がった距離と同じ周長に相当する分だけ図形が回転するというのは常識で、ある点Pがちょうど同じ位置に戻ってきたということは円周2πの整数倍の距離を転がったことに他なりません。
すなわち4l－8＝2nπとなり、l＝2＋nπ/2が答えとなります。 (n≧1、nは整数)
(2)
最小とあるのでl＝2＋π/2で考えることになりました。さて、円上のある点Pが動く軌跡の長さの範囲を求めよという問題なのですが、当然まずはPの動きを追わねばなりません。
スタート地点の円の中心を原点にした座標をとって、P(cosθ、sinθ)とおけば軌跡の長さはθの関数で表せる… というところまでは一定以上の経験があれば誰もが思いつくところでしょう。その関数とは何か？ というのを導くことがまずやるべきことです。
ひとまず左下→右下に向かう際の軌跡の長さをL(θ)としましょう。以降は向きを変えてるだけなので対称性から簡単に求まります。
具体的には今回は正方形の一辺の長さを円がちょうど1周するようにとっている (最小とはそういうこと) ので、右下に到達した時点で円は90°回転しているはず。続いて90°傾いた壁を登るため、さらに＋90°されて最初の位置から実質180°回転させた位置からスタート。右下→右上の軌跡の長さはL(θ＋π)であるといえるでしょう。
L(θ)が明らかに2π周期であることに気を付けると、全体の軌跡の長さは2(L(θ)＋L(θ＋π))である。まあ、とりあえずL(θ)の正体を突き止めることが先決です。
L(θ)を得るにはまずPの動きを追わねばなりません。円が距離tだけ転がると、円周の長さtに相当する分だけ回転する… 半径1で長さ＝ラジアン角なのですなわちPの座標は
P(t＋cos(θ－t)、sin(θ－t))とかけるはずです。
軌跡の長さがテーマなのですが、まずそもそも曲線の長さって皆さん知ってますかね？ これは数Ⅲの積分という単元の最後の最後でようやく登場するので恐らく知っている人は少ないのではないでしょうか。
折れ線の長さの極限と解釈すれば覚えやすいはず。とりあえずこれ計算してください。積分区間は0～π/2です。
√(1+sinx)型の積分は、π/2ずらしてcosにして半角公式で√外すのが僕の好み。
角がなんかややこしくてこのままだと絶対ミスりそうなので、適当に置換してやったほうがよさそうなのでそうします。
ほら。こっちのほうが間違えなさそうでしょ。
で、絶対値を外すためには途中でcosの正負が切り替わるかどうか… すなわち積分区間が－π/2を跨ぐかどうかで場合分けが必要そうです。
すなわち0≦θ≦3π/2と3π/2＜θ＜2πで場合分けが必要。ここで「え？ πじゃなくて3π/2が境界なの？」と戸惑って3度見くらいしました。
まあ間違いが僕には見つからなかったので進めるか…。境界さえ気をつければ定積分は簡単すぎるのですぐに計算できるでしょう。sin(π/4－θ/2)＝(cos(θ/2)－sin(θ/2))/√2とかしなきゃいけないけど。ちなみに僕はこういうの加法定理にあてはめないとわからない。
計算していくとこうなるはず。
なんか怖いからθ＝3π/2で検算。あってた。
で、求めるべきは2(L(θ)＋L(θ＋π))ですからこれの範囲を求めるわけですが、とりあえず明らかに周期πなので0≦θ<πの範囲で考えてよく、さらに区間が変わる変わらないで場合分けが行われるので、0≦θ≦π/2とπ/2<θ<πの2つの場合を考えることになります。
合成でまとめられます。αの値がヤバいことになってますが、sinα>1/√2なのでπ/4<α<π/2となり、0≦θ≦π/2の範囲でθ/2＋α＝π/2になるθが存在します。なので最大値4√(4－2√2)となり、最小値は端点を代入して4となります。もちろんこれは連続関数なのでこの間の値を連続的にとるはず。
さっきとαが違いますけど、0<α<π/4なのでθ/2＋α＝π/2になるθが以下略で、最小値8－4√(4－2√2)、最大値4。
忘れずに2倍して、軌跡の長さをＬとおくと
16－8√(4－2√2)≦Ｌ≦8√(4－2√2)
と出ます。ふー、疲れた…。
それにしても、＋8が出る出ないの図形的意味ってなんなんだろうな。
第3問 難易度：Ｄ******
かかった時間：47分18秒
およそ前期では見ないような一風変わった設定の問題が出てきました。後期っぽくなってきましたね。
(1)
これは簡単そう。第1工程→第2工程→検査という流れで、検査によって合格、1に戻る、2に戻るの3択になる。日曜日はお休みらしいので6日以内に合格すればよいのですが、パターンは限られているので全部書き出しちゃいましょう。
まずもっとも単純なのはストレート合格パターン。
2つ目は1回目の検査で第1工程に欠陥が見つかり、次に合格してギリギリ間に合うパターン。
3つ目は1回目の検査で第2工程に欠陥が見つかり、次に合格して間に合うパターン。もう1度第2工程に欠陥があると土曜日に第2工程やり直しとなり、検査が来週に持ち越しになるのでアウト。
というわけでこの3パターンしかありません。
それぞれ確率を計算してやると、まずＡは欠陥無しなので(1－p)の欠陥無しパターンを2連続通過。(1－p)^2。
Ｂは第1工程に欠陥ありなので確率p。次は2連続通過で(1－p)^2。掛けてp(1－p)^2。
Ｃは第1工程通過、第2工程アウトなのでp(1－p)。次は通過なので(1－p)。掛けてp(1－p)^2。
全部合わせると(2p＋1)(1－p)^2となります。
この問題は大丈夫でしょう。
(2)
次はP(n)を求める問題。(3)は計算すればなんとかなりそうなので、明らかにこの小問が一番重そうです。
一般のnについて求めるのですからまず思いつくのは確率漸化式です。というわけで漸化式を立てるべく状況を掴むため、(1)で作った表を眺めつつn週間の工事を考えてみると、どうも第2工程で詰まった場合、月曜日に検査か第2工程のどちらをやるかが不明なような…？
何が言いたいかというと、(1)でのＣパターンで金曜日に合格できなかったとすると、次は土曜日に第2工程、月曜に検査となります。それに対しＢパターンにおいてもし土曜日に第2工程に戻されたとすると、以降は月曜に第2工程、火曜に検査となり1日ずれるわけです。
つまりP(n+1)をP(n)で表そうとしたときに、n週目終了時の状況が「第1工程で詰んでる」、「第2工程で詰んでて月曜が第2工程」、「第2工程で詰んでて月曜が検査」とn週目終了時に3パターン考えられて、終わっている確率Pnに加えてQn、Rn、Snの4つを用意しなければならない…？
嫌すぎ。
瞬時に別判断、別ルート。
状況を整理しましょう。
まずこの工事が完了するかどうかは「検査」が決めます。というわけでこの検査に注目します。
ストレート合格は言うまでもなく3日です。しかし検査の結果第1工程不合格になるともう1度やり直しになり、次の検査は3日後です。つまり基本3日で終わるが不合格になると＋3日と考えられる。
同じように考えると第2工程不合格の場合は次の検査は2日後なので、＋2日と考える。
ならば第1工程でx浪、第2工程でy浪とすると工事完了までの日数は3x＋2y＋3日となるはずです。
すなわちP(n)というのは、3x＋2y＋3≦6nとなる確率を表しているのだ。なるほど、直接求めればいいのか。
ということで3x＋2y＋3≦6n、x,y≧0を満たす格子点の数を数えればよいことになる？ いや、違うな。格子点の数そのものを求めるのではない。それぞれの(x,y)についてそれが起きる確率を総和しなければならないのです。難しくないかコレ…？
(1)に適用しつつ考えます。まず3x＋2y＋3≦6を満たす0以上の整数x,yの組は(x,y)＝(0,0)、(1,0)、(0,1)の3組あります。それぞれがA、B、Cのパターンに該当します。
そして(x,y)＝(0,0)となる確率は(1－p)^2、(x,y)＝(1,0)、(0,1)となる確率がp(1－p)^2となったのでした。全部足してP(1)＝(2p＋1)(1－p)^2。ふむ。
ここで気付くべきは、(1－p)^2というのが必ず後ろにくっついているという点。というのもこれはよくよく考えれば当たり前で、検査で何回戻されようが必ず欠陥を通過する(1－p)の抽選を2回くぐり抜ければ合格となり、欠陥が出る確率pを引くと戻されるのです。
つまり戻される数の合計x+y=kに対し、確率はp^k・(1－p)^2となるのです。これの総和を求めればP(n)が求まります。
……なんか話がややこしくなってきたな。
図にするとこういう感じ。
3x＋2y＋3≦6n、x,y≧0を満たす範囲の格子点に対し、x+y＝kの直線上にあるものがそれぞれp^k・(1－p)^2という確率を持っているため、これを全て足し合わせろということ。
当然、x+y＝kと境界線3x+2y+3＝6nが交わるか否かで話が変わってくるので、0≦k≦2n－1と、2n≦k≦3n－2とで場合分けが行われることが予想されます。ダルすぎない？
そうは言っても他にいい方法も思いつかないのでやるしかない。
まず、2n≦k≦3n－2とかいう範囲がn＝1だと存在しないので、以降はn≧2であるものとします。
まず簡単そうな0≦k≦2n－1から。これは(0,k)から(k,0)まで全てOKなので格子点がk+1個あります。すなわち確率の総和は(k+1)(1-p)^2・p^kであり、これを0≦k≦2n－1でΣをとる。とりあえず(1-p)^2はどうせ固定で出てくるのであとで掛けるとしてどっかに行ってもらって、(k+1)・p^kの総和を求めましょう。
おお、この形の総和を求める問題なら見慣れているぞ。
この手のものは公比を掛けたものとの差を取ってやれば等比数列が出てくるため、それで総和が出せたのでした。すなわち
こういうこと。この調子でもう片方もやってみよう。
2n≦k≦3n－2においては、x＋y＝kと3x＋2y＋3＝6nとの交点までの格子点しか数えないので、まずこの交点を求める必要があります。その交点は(6n－2k－3、-6n＋3k＋3)であるため、(0,k)から(6n－2k－3、-6n＋3k＋3)までの6n－2k－2個の格子点があることになります。
つまり確率の総和は(6n－2k－2)(1-p)^2・p^kとなります。頑張ってこれのΣを取りましょう。
また(1-p)^2にはどっか行ってもらって、総和は
うーん…？ なんかよくわからないな。とりあえず2p^2nで括ってやるか。
これならさっきと同じでいけそうです。
よし出た。あとは(1－p)(Sn＋Tn)を計算してやると、答えがこのように出るはず。
これはn＝1の時も成立。p＝0,1で検算すると確率が1と0になる(自明) ので合ってそう。
やっと終わった……。
(3)
まだあるのかよ…。
p＝1/2を代入すると1－P(n)は次のようになります。
これが1/1000を下回る最小のnを求めろと言っています。
n＝1から順に代入でもいいんですが、さすがにちょっとセンスが無いのでちょっと式変形。
3－2(1/2)^nの部分って2以上なので、とりあえず(1/4)^n＜1/2000じゃないとお話になりません。この時点でn≦5が全部アウトです。
で、n＝6だと(1/4)^6＝1/4096なんですが、3－以下略の部分が明らかに3未満なので、掛けても1/1000を下回るのは自明です。
というわけで答えは6です。終わり。
答案も大雑把に評価したものを書いとけばいいので3分で書き終わります。わざわざ1/8の5乗は…？ とかチマチマ計算して具体値を出すより圧倒的に簡単です。
というわけで最後はおまけ問題でした。
