モチベがあるうちにどんどんやります。
第1問
この手のやつはまず、どっちがどういう変数なのかがわからなくなるので混乱するというのが大きなハードルです。
これはまだいいですが、微分して解くタイプの積分方程式とかだとtとxどっちがどうなるんだ？？？ となりパニックになるのは慣れないうちはよくあること。
この問題に戻りますが、これは絶対値の正負が0～1で変わる場合がややこしそうなのでそこで分けましょうっていう基本的な問題です。絶対値さえ外してしまえば被積分関数は簡単なので問題ないでしょう。
ただ作業するだけです。
第2問
やってることのイメージはこんな感じ。0<a<1だといづれある点に収束するのでその点を求めよと言っております。
120度ずつ向きが変わりますが、3回向きを変えると元の向きに戻ってくれます。
物理で速度成分をx,yに分けるのと同じで、0°成分、120°成分、240°成分に分けて考えてあげましょう。
0°方向 → a＋a^4＋a^7＋…＋a^(3n-2)
120°方向 → a^2＋a^5＋…＋a^(3n-1)
240°方向 → a^3＋a^6＋…＋a^(3n)
これらの成分を足します。x軸方向から0°、120°、240°の単位ベクトルをそれぞれ用意して長さを掛けるだけです。たとえば点A_3nだと
A_3nというのに気持ち悪さを感じると思います。極限をとるのですが、部分列の極限を取る場合は全ての場合についてそれぞれ同じ点に収束することを言わねばなりません。
どうせ同じところに行くのは分かり切っていますが、書かないと論理不備で大減点は避けられないので気をつけましょう。
答えが合ってるのに大減点とは大げさな！と思うかもしれませんが、数学のこういうところって結構シビアなので、半分くらい引かれても文句は言えません。破綻している理論で話が進んでしまっていることに比べたら、答えの数値が合ってるかどうかなどどうでもよいことです。
とベクトルの和で表して、3通りに場合分けした部分和の極限がすべて同じ点に収束することを示すのが無難でしょうか。
極限計算自体はa^3n→0とすればいいだけなので簡単。答えはこの点になるでしょう。
分母分子がa-1を共通因数に持つので約分を行っています。a≠1である注釈を一応入れておくのが無難です。
