面白そうだったので。
(1)
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47
ところで、飛ばした数が素数じゃない証明っている？ 30個以上の数について合成数である説明を加えるのって嫌なんですけど。
(2)
実は(1)が誘導です。
イメージとしては、n＝12のときp_12＝37、3n＝36になってp_nが3nを追い越すんですが、以降3ずつ迫ってくる3nに対して素数列p_nは逃げ切るということを言っています。
まず、n＝13を見てみると、p_13＝41、3n＝39になり、3nは3増えるのに対しp_nは4増えるので、1だけ引き離しています。
しかし、n＝14を見てみると、p_14＝43、3n＝42になり、3nは3増えるのに対しp_nは2しか増えないので、1だけ追いつかれてしまいます。あと1追いつかれると並ばれてしまうので非常に危険です。
素数は2以外は奇数しかないため、＋2してくれることは確定していますが、それでも＋2が連続すると3nに追いつかれてしまいそうです。しかし心配無用。仮に＋2が2連続で起こるとすると、どれか1つは3の倍数になってしまうため2連続は有り得ないことが分かります。そして、＋2しないとしたら次は少なくとも＋4となり (＋3は偶奇性から無い) 、ここで1以上引き離すので次また＋2で追いつかれてもリードが保てるのです。
n≧12の話をしているのに(1)で何故p_15までを書かせたのかというと、この様子に気付かせるためでしょう。まず＋4で一旦引き離し、＋2で差が縮まったあとまた＋4で引き離している様子が観察されます。
というわけで解答はこちら。
nを2個増やせばリードが保てることがわかったので、初期値2個用意して偶奇で帰納法をまわす感じで。
え？ こんなことしなくても、そもそもP_(k+1)＞3k+2と3の倍数否定から即いける？ アーアーキコエナーイ
