あと3年分です。一気に完走するか…。
第1問 難易度：Ｃ
ボールの影の領域を求める問題。
点Cからの光が球によって遮られる (空間内での) 領域を考えると、このように斜めの円錐形が出てきます (実際には無限に伸びてる) 。
この円錐をxy平面で切断した断面こそが求める範囲だというわけです。
円錐を斜めに切断した断面は2次曲線になることが知られていますから、この断面は楕円になるはずです。証明は接する球を2つ考えれば一瞬で出来ます。どっからこんなの思いつくんだよって感じですが青チャートに載ってるので、解法暗記勢は当然知っているはずです。
円錐と断面の両方に接する2つの球を考えて、接点をF1,F2とおく。
いま、断面上の点をPとして、頂点CからPに伸ばした直線を考えると、球は接してるのですから接線になるはずで、接点S1、S2が現れるはず。
F1もS1も点Pから球に引いた接線であり、ある点から球に引いた2接線の長さは等しい (常識) ので、PF1＝PS1。
同様にPF2＝PS2となり、P,S1,S2は一直線上にありますから、S1S2の長さが断面上の点とF1,F2との距離の和に等しいことがわかります。
S1S2ってのは一定値ですから、これは距離の和が一定値 …つまり楕円の定義を満たすためF1,F2を焦点に持つ楕円であることが示されるというわけです。
今2つの球を考えましたが、既に片方の球は与えられていて、中心(0,0,1)で半径1の球となっています。
とりあえずy軸対称なので今度からxz平面上で考えます。球は円ってことにします。
さっきの話の原理上、焦点からの距離の和は上図のDEの長さに等しく、これはもう1つの円の中心座標が求まれば相似利用ですぐ求められそうです。
また焦点は円とxz平面との接点なので中心のx座標をそのままおろしてくれば求まる。
というわけでもう1つの円を特定すればよさそうだということがわかりますね。
2通りの相似利用で求めるという基本的な幾何の問題になります。
三平方の定理でCD＝√(a^2＋3)とわかるので、DE＝2√(a^2＋3)。
焦点も(-2a,0)と(0,0)であると求まるため、楕円の式は(x+a)^2/(a^2+3)＋y^2/3＝1であるとわかります。Sはそれの内側。
絶対想定解じゃない気がするけどまあいいや。
僕は基本的にパッと見の第一感のまま突き進んでるのでたまに絶対想定解じゃないだろみたいなやり方になっちゃいます。
第2問 難易度：Ｃ
何気に20年分やってきて「双曲線」というワードが出てくるのが初めてな気がする。
何のひねりもなく計算するだけの問題に見えます。
pqを固定すると三角形の面積は一定だと問題文に書いてありますが、そこまで複雑な式を扱うわけでもないのであれこれ考えるよりは計算したほうが早い気がします。
具体的には接点A,Bを求めて、AP↑とBP↑を求めて1/2・|ad-bc|で面積を求めてやって、微分するだけか？
最初間違えて接点をtと置いちゃって「tって使ってるやん！」ってなっちゃったよｗ
もっと楽な方法あるのかな。
