数列の各項を特定の整数で割った余りを並べた数列は必ず循環します。そうでないものももちろんあるのですが、大学入試の範囲ではそういうのを見たことがないので、この狭い界隈では必ずと言って実用上差し支えないでしょう。数学ガチ勢に怒られそうです。
それは置いといて、数列の剰余に関する問題では循環するんだから高々有限個調べればそれで終わりじゃん？ ということで脳筋戦法で問題が解けるということが多々あります。以下は僕が高校3年生の時、東大の過去問演習で解いた問題です。
2008年東大数学第5問です。18歳当時の僕はこの問題を15分で解答しました。 (記述の書き方がゴミでしたがｗ) どう考えたかを説明します。
(1) 帰納法。略。
(2) これが本番。どうやらこれはレピュニット数というらしいです。当時の僕は名前すら聞いたことがなかったし、これにそんな固有名詞がついていたことすら想像の外でした。この問題を見た瞬間僕が考えたのはただ一つ。
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余りって0～26までしかなくて、nが27の倍数⇔11111…が27の倍数を示すってことは27回でループするってことじゃね？
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思考終了。方針立てにかかった時間は5秒です。さて答案を書きましょう。
n四角と入力するのが文章ベースだとできないので、今からこれはa_nと呼ぶことにしましょう。容易にa_(n+1)＝10a_n+1がわかります。
modは当時高校範囲外だったのでその辺の話を簡単に説明する必要がある気がしますが、ひとまず余りをb_nとでもして、余りを10倍して1を足し27より大きければ27で割った余りを書くという作業を表にします。
できました。途中で+10、－8、＋1の法則性が見つかると思うので後半はすんなり埋まっていくと思います。b_28＝b_1ですから簡単な帰納法からb_n＝b_(n+27)がわかりますね。b_1～b_27までにb_nが0になるのはn=27のときしかありませんから、nが27の倍数の時にb_n＝0つまりa_nが27で割り切れます。もちろん逆も当たり前に成り立ちます。
以上。
正直、あれこれ考えるよりも多分これが一番早いと思います。場合の数や確率において「全部書き出す」というのは最終手段という風潮もありますが、全部書き出すことが逆に一番早いこともあります。実はこういう択を持っておくことで得点力の向上につながるかもしれません。
ちなみに記述の書き方知らんので減点されない方法はわかりません。ただ、全部網羅して「全部網羅した結果これが過不足なく条件を満たすぞ。文句あるか？」と言われても反論のしようがないため、ちゃんと文章を書けば満点なんじゃないですかね。責任は負いません。
